Vtip, o ktorom idem písať, mi pripomenul jeden veľmi zaujímavý rozhovor, na ktorý ma upozornil jeden priateľ na svojej facebookovej stránke. Je to Daniel Hevier. Mám ho rada, pretože jeho hravý pohľad na školskú slovenčinu je blízky môjmu pohľadu na školskú matematiku. Pozval si človeka, ktorého poznám iba zbežne. Videla som niekoľko jeho prednášok o matematike na YouTube. Na týchto videách je neuveriteľné, ako veľmi sú populárne. To sa matematickým prednáškam často nestáva. Ak ste ešte žiadnu nevideli, určite si nejakú z nich pustite. Bude sa vám páčiť. Zbyněk Kubáček je matematik. Učí na matfyze. Čo ma ale zarazilo na spomínanom rozhovore, bolo to, ako veľmi mi docent Kubáček pripomína mňa. Nie vizuálne 😁, ale spôsobom, akým rozmýšľa a rozpráva o matematike. Neuveriteľná podoba. Môj dedko vždy hovoril, že každý sme divný (on používal iné slovo 😄) iným spôsobom. A môj spôsob divnosti som doteraz u nikoho iného nevidela.
Ale vráťme sa k tomu vtipu. Sú to vlastne dva vtipy, ktoré začínajú rovnako:
Do baru príde nekonečne veľa matematikov. Prvý si vypýta jedno pivo, druhý pol piva. Potom to pokračuje v prvom prípade: Tretí štvrť piva, štvrtý osmimku piva. Hostinský ich zastaví: „Jasné, chápem.“ A načapuje im dve pivá.
V druhom prípade: Tretí tretinu piva, štvrtý štvrtinku piva, piaty pätinu piva. Hostinský ich zastaví: „Vy ma chcete zruinovať?“
Vtipy sa asi dajú porozprávať tak, aby boli aj vtipné. Ja to veľmi neviem, takže som vybrala len podstatu. A idem spraviť niečo, čo sa naozaj nepatrí: vysvetliť ich.
Súčet nekonečnej postupnosti
V oboch prípadoch ide o to určiť súčet nekonečnej postupnosti. To sa robí obyčajne cez nekonečný rad – to je postupnosť čiastočných súčtov. Znie to hrozne, tak vysvetlím na príklade. Postupnosť v prvom vtipe je: 1, 1/2, 1/4, 1/8, … Rad je postupnosť súčtov: 1, 3/2 (pretože súčet prvých dvoch členov postupnosti je 3/2), ďalej 7/4 (keď k 3/2 pridám 1/4), a tak ďalej. Otázka je, či tento rad takzvane konverguje. T.j. blíži sa k nejakému konkrétnemu číslu, alebo inak povedané s každým nasledujúcim prvkom je stále bližšie a bližšie k tomuto číslu.
Tento konkrétny rad mám veľmi rada, pretože jeho konvergenciu môžeme ukázať aj najmenším školákom. Dajte deťom štvorec a rozkážte vyfarbiť polovicu z neho, potom znovu polovicu zo zvyšku a znovu polovicu zo zvyšku a znovu, až kým vám nepovedia, že to môžu rovno vyfarbiť celý štvorec. (To sme ale vynechali to prvé celé pivo, preto hostinský načapuje dve.) Táto postupnosť patrí medzi geometrické postupnosti – azda preto, že sa dajú krásne geometrický znázorniť.
Postupnosť, ktorej súčet je nekonečný
Druhá verzia je náročnejšia. Podobá sa prvej v tom, že pripočítavame stále menšie a menšie čísla, ale tento rad aj tak stále rastie. Neexistuje žiadne číslo, akokoľvek veľké, ktoré by tento rad neprerástol. A prečo?
Dôkaz spočíva v malej finte. Pôvodnú postupnosť nahradíme postupnosťou s ešte o trochu menšími prvkami a keď aj takáto menšia postupnosť bude mať rad, ktorý nekonečne rastie, tak je jasné, že s väčšími prvkami to porastie do nekonečna tiež. Takže náhradná menšia postupnosť bude: 1, 1/2 (to sme zachovali), namiesto 1/3 a 1/4 dáme dvakrát 1/4 (štvrtina je menej ako tretina)- tie nám v súčte pridajú jednu polovicu. Namiesto pätiny, šestiny, sedminy a osminy dáme štyrikrát osminu, čo bude v súčte ďalšia polovica. Už tušíte, ako chcem pokračovať? Ďalších osem prvkov nahradím ôsmymi šestnástinami, čo nám zasa pridá polovicu do súčtu a takto môžem pridávať do nekonečna. Áno, neskôr budem potrebovať stále viac a viac prvkov, aby mi súčet vzrástol o ďalšiu polovicu, ale to nie je problém. Mám ich predsa nekonečne veľa. 😁
Takže aj prvky, ktoré sa stále zmenšujú, až sú takmer nulové, môžu spolu vytvoriť akokoľvek obrovský súčet, ak ich je nekonečne veľa. To mi pripomína jedno príslovie, o tom, ako aj voda vyhĺbi v tvrdom kameni dieru, ak kvapká dostatočne dlho. (Presné znenie si nepamätám.) A predstavte si, že tie kvapky vody sa ešte aj stále zmenšujú. Ale pozor, nie hocijako! Ale tak, ako sa zmenšujú prvky v postupnosti z druhej verzie vtipu. A nemusíme si predstavovať dieru v kameni, ale povedzme, že takéto stále sa zmenšujúce minikvapôčky pokojne zaplnia celý oceán. 😲