Občas, pri prehrabávaní sa v starých knihách, možno naraziť na podivnú knihu plnú čísel. Logaritmické tabuľky. Kedysi bola takmer v každej domácnosti. Dnes už málokto vie, na čo je vôbec dobrá. Tiež som takú objavila v knižnici po mojom deduškovi. Je to taký artefakt z dávnych čias. Z čias pred internetom, pred kalkulačkami a pred počítačmi. Áno, naši predkovia dokázali žiť aj bez týchto vecí. A dokázali počítať. Nielen plus, mínus, krát, či deleno. Vypočítali napríklad aj odmocninu s takou presnosťou, akú nám dnes dá kalkulačka.
Použili pri tom práve takúto kúzelnú knihu. Napríklad druhú odmocninu z dvoch vypočítali tak, že v tabuľkách našli logaritmus dvoch, výsledok vydelili dvoma a zasa v tabuľkách našli, koľko je desať umocnených na toto číslo. Pre tých, ktorí vedia, ako funguje funkcia logaritmus so základom desať, nie je veľký problém rozšifrovať fungovanie logaritmických tabuliek.
Logaritmus
Poďme si ale trošku pripomenúť, čo je to vlastne ten logaritmus. (V celom tomto príspevku sa bavím len s dekadickým logaritmom.) Jednoducho povedané, je to číslo, na ktoré musím umocniť desiatku, aby som dostala logaritmované číslo. Napríklad logaritmus z desiatky je jeden, pretože desiatku musím umocniť na prvú, aby som dostala výsledok desať. Logaritmus z jednotky je nula, pretože desať na nultú je jeden. No, a toto sú hraničné hodnoty, pre ktoré stačí mať výsledky v logaritmických tabuľkách. Čiže, čísla, ktoré logaritmujeme, idú od jednotky po desiatku a výsledky od nuly po jednotku. Jednotlivé tabuľky sa líšia len v presnosti: na koľko desatinných miest, resp. platných číslic, počítame.
Na obrázku nižšie je ukážka z najjednoduchších tabuliek, ktoré sú súčasťou matematicko-fyzikálno-chemických tabuliek. Logaritmické tabuľky v nich zaberajú len niekoľko málo stránok a počítajú s presnosťou na 5 miest. Desatinné čiarky ignorujeme, keďže vieme, v akom rozpätí sa pohybujeme. (Čísla, ktoré logaritmujeme sú medzi 1 a 10 a výsledky medzi nulou a jednotkou.) Poďme sa pozrieť na tú odmocninu z dvoch. Logaritmus dvojky nájdeme v riadku 200 – to sú prvé tri miesta, v stĺpci 0- štvrté miesto. Logaritmus dvojky je 0,30103. Prečo teraz budem počítať polovicu? Logaritmus má jednu úžasnú vlastnosť: ak číslo, ktoré logaritmujeme má nejakú mocninu, tú môžeme vybrať pred logaritmus a vynásobiť. T.j. log2^{1/2}= 1/2•log2. (Zabudla som ešte podotknúť, že druhá odmocnina je to isté ako mocnina s exponentom 1/2.)
Pokračujem: polovica z 0,30103 je 0,150515 a toto číslo musím nájsť vo výsledkoch. Našťastie, logaritmus je prostá funkcia – s rastúcim x rastie aj logaritmus, takže výsledky idú pekne po poriadku. Najbližšie vidím 15045 (hviezdička pred 045 znamená, že aj keď je v riadku so začiatkom 14, už má začiatok ďalšieho riadku, t.j. 15. Takže najbližší výsledok by bol 1,414. To je presnosť 4 miesta. Môžeme to ešte kúsok upresniť pomocou tabulečky vpravo. K 15045 by sme mali pridať asi šestku, aby sme boli bližšie k 150515. Na konci nášho riadku je poznámka 31 a v stĺpčeku s označením 31 v tabulečke vedľa je celkom fajn hodnota 6,2. To je skoro presne toľko, koľko sme chceli. Riadok 2, takže piate miesto je 2. Odmocnina z dvojky je teda 1,4142 s presnosťou na päť miest.
Rovnica, ktorá opisuje tento postup by vyzerala asi takto:
2^{1/2} = x
log 2^{1/2} = log x
1/2• log2 = log x
1/2• 0,30103 = log x
0,150515 = log x
x = 1,4142
(Namiesto rovnítok by tam mali byť rovnítka s bodkou, ako približne, ale píšem z mobilu, takže mi to, hádam, odpustíte.)
Ako je ale možné, že mi stačí vedieť logaritmy jednociferných čísel? S tým súvisí ďalšia krásna vlastnosť logaritmov. Logaritmus väčšieho (alebo aj menšieho) čísla ľahko odvodíme. Napríklad logaritmus čísla 250 je logaritmus súčinu 2,5•100 a logaritmus súčinu je súčet logaritmov. T.j. stačí určiť logaritmus 2,5 a pripočítať k nemu logaritmus stovky, čo je dvojka. (Desať na koľkú je sto?) Opačne, keď mi vyjde, že hľadané číslo má logaritmus 3,78, stačí nájsť číslo prislúchajúce výsledku 0,78 a toto vynásobiť tisíckou. (Desať na 3+0,78 je desať na tretiu krát desať na 0,78.)
Využitie
S logaritmickými tabuľkami dokážeme teda počítať akékoľvek mocniny a odmocniny z akéhokoľvek čísla. Logaritmické tabuľky môžeme použiť aj na rýchlejšie násobenie. Pozrieme logaritmy oboch činiteľov. Sčítame ich a nájdeme číslo, ktorému prislúcha výsledok. Používame tak znova vlastnosť: logaritmus súčinu je súčet logaritmov.
Možno sa vám celé toto nezdá vôbec nejaké úžasné. Zamyslite sa ale nad tým, ako tieto tabuľky vznikli. Je sedemnáste storočie. Žiadna kalkulačka neexistuje. Počítať odmocninu z dvojky tak, že skúšate rôzne čísla, ktoré násobíte samé sebou, až kým vám nevyjde takmer presne dvojka, je dosť zdĺhavé a pri výpočte inej odmocniny vám vôbec nepomôže, že už ste počítali podobný príklad. Potom sa nájde niekto, kto je ochotný venovať neskutočne veľa času na mravenčiu prácu: vypočíta logaritmy všetkých čísel od jeden do desať idúc po stotinách, neskôr tisícinách aj desaťtisícinách. Stačí to spraviť raz, zapísať do knihy a uľahčí tým výpočty všetkým po ňom.
Ako to vôbec bez kalkulačky mohol zvládnuť? Odpoveď nepoznám, ale ak by som to mala robiť ja, postupovala by som asi takto. Vytvárala by som opačnú tabuľku: tabuľku mocnín desiatky a keď by bola hotová, len by som zapísala výsledky ako n a vstupné čísla ako výsledky. Začala by som s desatinami, takže prvé by som musela určiť, koľko je desať na 0,1, čiže desiatu odmocninu z desať. No, toto by trvalo dlho, keďže by som to proste skúšala: tipnem číslo, desaťkrát ho vynásobím samé sebou a pozriem, či som dosť blízko k desiatke. S uspokojivým výsledkom ľahko dorobím aj mocniny 0,2, 0,3, 0,4, … , 0,9, keďže 0,2 je 0,1+0,1 a to v mocnine znamená, že stačí dať desať na 0,1 krát zasa desať na 0,1 a mám výsledok. Tento zasa môžem vynásobiť s desať na 0,1 a budem mať desať na 0,3 a t.ď. To by som vlastne mala hotové už vtedy, keď som tipovala a zisťovala, či mi vyjde desať.
Desať na 0,01 by som zasa musela tipovať, ale, samozrejme, nebudem počítať stú mocninu a čakať, kedy vyjde desať. Stačí desiatu a musí vyjsť to, čo mám už určené – tých desať na 0,1. (Lebo desať na 0,01 je to isté ako desať na 0,1 a to celé ešte na 0,1.) Ostatné čísla zasa dopočítam ľahko. Napríklad desať na 0,22 je desať na 0,2+0,01+0,01, čo je súčin desať na 0,2 krát desať na 0,01 krát desať na 0,01. Takto nejako si viem predstaviť, že by sa logaritmické tabuľky dali vytvoriť. Ale robiť by sa mi to, popravde, nechcelo. Ľudia, ktorí ich naozaj spravili, si zaslúžia náš obdiv a úctu. Prvým z nich bol Henry Briggs. Jemu aj pripisujeme objav dekadického logaritmu. Nadviazal na prácu Johna Napiera, ktorý vynašiel logaritmus, ale pri základe e: prirodzený logaritmus. 👏
Keď teda niekde natrafíte na knižku plnú čísel s názvom Logaritmické tabuľky sedemmiestne alebo aj viacmiestne, nevyhadzujte ju. Niekto venoval veľa času a úsilia pri jej tvorbe. A navyše, môže sa vám zísť, keď nebude žiadna kalkulačka poruke.