V týchto dňoch sa učitelia všetkých predmetov venujú zväčša doskúšavaniu žiakov, ktorí sú „medzi“. „Keby zabezpečili, aby mali všetci žiaci nepárny počet známok, nemali by teraz žiaden problém,“ preblesklo mi hlavou. Ale naozaj? Takéto tvrdenie treba dokázať. Tak poďme na to:
Overíme, či sa naozaj nemôže stať, že priemer nepárneho počtu známok bude „medzi“. Vieme, ako sa počíta priemer známok. Obyčajne ako aritmetický priemer, čiže spočítajú sa všetky známky – súčet nazveme s. A tento súčet následne vydelíme počtom známok, ktorý má byť nepárny, takže máme s/nep. Toto má vyjsť niečo medzi, takže 1,5 alebo 2,5 a t.ď. To si zapíšeme ako zlomok 3/2, 5/2, 7/2 alebo 9/2. Vidíme, že v čitateli je nepárne číslo, v menovateli dvojka.
Dostaneme rovnicu s/nep.=nep./2. Ktorá po jednoduchej úprave vyzerá takto: 2s= nep.•nep. Súčin dvoch nepárnych čísel ale nikdy nebude rovný číslu 2s, lebo 2s je párne, takže toto sa fakt stať nemôže.
Súčin dvoch nepárnych čísel je nepárny. Stačí, aby jedno z nich bolo párne, už bude súčin párny. Pekne to vidieť napríklad v tabuľke malej násobilky. Vyfarbite si všetky nepárne výsledky. Bude ich iba 25 zo stovky všetkých výsledkov.
Pytagorejci
Tento jednoduchý fakt stojí aj za jedným z mojich obľúbených dôkazov. Rozprávanie by som začala dávno pradávno. V časoch, keď matematika bola zábavou vyvolených. Muži, o ktorých budem hovoriť, sa dnes nazývajú Pytagorejci, nástupcovia slávneho Pytagora. Ako to tak bývalo, nezaoberali sa len matematikou, ale aj filozofiou a kadečím iným, o čom sa dalo hútať pri čľapkaní sa v bazéne. No, a oni verili, že všetko na svete sa dá popísať číslami. (Áno, odtiaľto pochádza numerológia.) A to nie hocijakými, ale číslami, ktoré sa dajú napísať v tvare zlomku v základnom tvare. (T.j. zlomkom, kde čitateľ aj menovateľ sú prirodzené čísla, ktoré nemajú žiadneho spoločného deliteľa- nedajú sa už vykrátiť.)
Je celkom ironické, že jedna z najslávnejších viet, ktorá je po Pytagorovi pomenovaná, vôbec nie je jeho objavom a navyše práve táto veta stojí za devastáciou hlavného svetonázorového presvedčenia Pytagorejcov.
Istý Pytagoreho žiak sa totiž podujal nájsť ten zlomok, ktorý vyjadruje uhlopriečku štvorca so stranou dĺžky jeden. Podľa Pytagoreho vety je to číslo, ktoré keď vynásobíme samé sebou, vyjde dvojka. Hľadaný zlomok bude teda p/q, pričom minimálne jedno – čitateľ alebo menovateľ musí byť nepárne číslo. (Zlomok má byť v základnom tvare.)
Máme teda rovnicu p/q•p/q = 2.
Upravíme: p•p = 2•q•q.
Teraz je jasné, že p je párne, pretože vpravo máme párne číslo. Z toho ale vyplýva, že q je nepárne. Keďže p je násobkom dvojky, môžeme ho kľudne napísať ako 2k. Dosaďme:
2k•2k = 2q•q. Celú rovnicu vydelíme dvojkou a dostaneme:
2k•k = q•q.
A tu sme narazili na neprekonateľný problém. Vpravo máme súčin dvoch nepárnych čísel a vľavo párne číslo. Koniec. Celá viera padá. Nie všetky čísla sa dajú zapísať ako zlomok.
Dnes sa už vôbec nečudujeme. Vieme, že čísla, ktoré sa dajú zapísať ako zlomok, sa nazývajú racionálne. Všetky ostatné sú iracionálne. A spolu tvoria množinu reálnych čísel. Keby Pytagoras vedel, že iracionálnych čísel je dokonca viac ako racionálnych…(Pozri rozprávku o nekonečnom hoteli – racionálne by sme do neho ubytovali, iracionálne nie. Je to väčšie nekonečno.)