Nedávno sa ma môj prvorodený spýtal, kedy začne jeho malý braček chodiť. Hovorím, že keď bude mať približne jeden rok. Pýta sa: „A to bude kedy?“
„Keď ty budeš mať desať rokov.“
A nasledovala jeho úvaha: „To je super. Veď je to to isté. Jedna a nula je jedna.“
„A ďalší rok bude mať dva a ty 11. A 1+1 je zasa dva.“ A vlastne to tak bude po celý život, ak budeme ciferný súčet počítať vždy, až kým nedostaneme jednociferné číslo. Čiže 19 má ciferný súčet 10 a z neho je ciferný súčet jeden. Takto sme kedysi len tak zo srandy počítali šťastné číslo. Že spočítame všetky čísla v dátume narodenia a v súčte zasa všetky číslice a tak, až kým nedostaneme jednociferné číslo.
Dnes nadránom som sa zamyslela nad tým, že takáto funkcia (ciferný súčet z ciferného súčtu, až pokiaľ nevyjde jednociferné číslo) má celkom zaujímavé vlastnosti. Napríklad deviatka naň nemá vplyv. Pripočítajte 9 k akémukoľvek číslu, výsledný ciferný súčet z ciferného súčtu bude stále rovnaký.
Pri počítaní šťastného čísla zasa ľahko objavíme, že je jedno, v akom poradí budeme počítať, či spravíme najprv ciferné súčty pre deň, mesiac a rok a tie následne sčítame a určíme ciferný súčet, alebo najprv všetko sčítame a ciferný súčet spravíme až z výsledku. Matematicky by sme to zapísali, že f(a+b)=f(a)+f(b).
Prečo takáto zaujímavá funkcia nemá svoj názov? 🤔
No, a vtedy mi to docvaklo. Veď má! Je to predsa zvyšok po delení deviatimi! Prekvapivé, však? A teraz, keď tak nad tým uvažujem, je to vlastne úplne prosté. Dávno viem, že ciferný súčet má rovnaký zvyšok po delení deviatkou ako pôvodné číslo. Teda logicky aj ciferný súčet z ciferného súčtu bude mať ten istý zvyšok. Jediný rozdiel je v tom, že moje ciferné súčty budú obsahovať čísla 1, 2, …, 9 a vo zvyškoch je namiesto deviatky nula.
Tie vlastnosti, ktoré som len tak náhodou objavila, vyplývajú z teórie zvyškových tried.
A takto si my matematici dvíhame náladu. Kto nezažil, nepochopí, aký je to pocit, keď sa v mozgu zrazu prepoja neuróny. Dve veci, ktoré stáli oddelene, sa spoja a vytvoria krásne premostenie. Rozsvietená žiarovka to celkom dobre vystihuje. To je to, čo matematika motivuje. To je to, čo by malo motivovať aj najmenších školákov. Nie známky, vonkajšie odmeny či tresty. Ale dobrý pocit z toho, že na niečo som sám prišiel.
Vrátim sa ešte na chvíľu k tým zvyškom. Nie každému je asi zrejmé, prečo má ciferný súčet rovnaký zvyšok ako pôvodné číslo. Pointa je v desiatkovom zápise čísla. Každé číslo v desiatkovej sústave je vlastne súčtom cifier násobených nejakou mocninou desiatky. Napríklad 123 = 1•100+2•10+3. No, a tie mocniny desiatky vieme rozložiť na súčet nejakého deväť násobku a jednotky. Čiže 123 = 1•(99+1)+2•(9+1)+3. A je jasné, že násobok deviatky nijako nezmení výsledný zvyšok, preto zvyšok po delení deviatkou ovplyvňujú iba jednotlivé cifry 1+2+3. Tak preto má ciferný súčet rovnaký zvyšok ako celé číslo. S ciferným súčtom ciferného súčtu to nemôže byť inak.
Otázka na záver: aký bude ciferný súčet z ciferného súčtu až po jednociferné číslo z výsledku tohto príkladu: 1203627•9 + 1234567890.
Komu vyšlo deväť, môže si pogratulovať. 😁
Komu sa toto spojilo s deviatkovou skúškou, je šťastným matematikom. 😉