Je taká úloha: ak mám v zásuvke kopu čiernych a bielych ponožiek, koľko musím minimálne vytiahnuť, aby som mala istotu, že budem mať dve ponožky rovnakej farby? To je úplne typická úloha pre Dirichletov princíp.
Táto úloha sa v rôznych obmenách pravidelne vyskytuje v matematických súťažiach. Pritom jej riešenie je až zarážajúco ľahké. Stačia tri. Dve by totiž ešte mohli byť rôznej farby.
Princíp, ktorý za riešením stojí, je však veľmi pekný a užitočný. Nazýva sa aj zásuvkový princíp. Dirichletovým sa nazýva po nemeckom matematikovi, ktorý ho v devätnástom storočí presne sformuloval. Všeobecne, ak máme m množín, v ktorých je aspoň m+1 prvkov, tak určite aspoň v jednej množine musia byť aspoň dva prvky. V horeuvedenej úlohe sú dve množiny: biele a čierne. Preto stačí, aby sme do nich vložili tri prvky a zaručene v jednej z nich budú aspoň dve ponožky. 😊 Ak by sme mali ponožky piatich farieb, museli by sme vytiahnuť aspoň šesť.
Existuje ešte jedna pekná úloha, ktorá ilustruje ešte všeobecnejšie použitie Dirichletovho princípu. Je trochu vtipná, ale ja som ju nevymyslela. Takto si ju pamätám:
Muchy na štvorcovom stole
„Na štvorcovom stole s rozmermi 1×1 meter sedí 51 múch. 🤣 Dokážte, že je možné trafiť aspoň tri muchy jednou ranou s hrncom, ktorý má priemer podstavy 30cm.“
Kto to kedy videl, zabíjať muchy hrncom? Veď všetky uletia. Muchy cítia tlak vzduchu, ktorý by ten hrniec tlačil pred sebou. Preto majú mucholapky dierky. Ja by som teda v zadaní určite zmenila hrniec za kruhovú mucholapku. Ale táto úloha už neznie tak jednoducho, ako tá ponožková. Preto sa mi páči viac.
Poďme ju teda vyriešiť. Ak by sme nikdy nepočuli o Dirichletovom princípe, asi by sme vôbec nevedeli, ako začať. Rozhodujúca je úvaha: ak sú tie muchy niekde na kope, ľahko ich zabiť veľa naraz. Jedine, ak by boli na stole rozlezené viacmenej rovnomerne, mohol by to byť problém. Takže uvažujme, že sú rozmiestnené rovnomerne. Stôl rozdelíme na niekoľko menších rovnakých častí, do ktorých umiestnime 51 múch tak, že v každej časti budú dve, len v jednej bude o jednu muchu viac. To by bolo to najhoršie rozmiestnenie. Každé iné je lepšie. 51 je dvakrát 25 plus jedna. Takže štvorcový stôl môžeme pohodlne rozdeliť na 5×5 menších štvorcov. Celý mal stranu dĺžky jeden meter. Pätina bude teda dvadsať centimetrov. Zostáva už len overiť, či kruhová mucholapka pokryje celý jeden štvorec. To už je úloha čisto geometrická: zmestí sa štvorec so stranou dĺžky 20 cm do kruhu s priemerom 30 cm? Úloha je to pomerne ľahká, keď si uvedomíme, že uhlopriečka toho štvorca musí byť menšia ako tých 30 cm, čo je (vypočítané pomocou Pytagorovej vety), takže naozaj aj pri fakt najhoršom možnom rozmiestnení múch na stole, vždy bude existovať miesto, kam s mucholapkou ťapnúť, aby sme zabili aspoň tri muchy.
Dirichletov princíp v bežnom živote
Dirichletov princíp môžeme použiť aj na celkom reálne otázky. Napríklad, všimli sme si, že v každej triede existuje dvojica žiakov, ktorí majú narodeniny v tom istom mesiaci. Za mesiac si môžete doplniť znamenie zverokruhu, ak chcete. Je to pravidlo, alebo náhoda? Aplikujeme Dirichletov princíp a hneď vieme, že stačí, aby v triede bolo aspoň trinásť žiakov a je jasné, že aspoň dvaja budú mať narodeniny v tom istom mesiaci. Ak je v triede aspoň 25 žiakov, tak tam musí byť určite aspoň trojica takýchto žiakov.
Podobne, ak žijem v mestečku s 10000 obyvateľmi, môžem uvažovať, či je medzi nimi niekto, kto má narodeniny v rovnaký deň, ako ja. Toto ale Dirichletov princíp nevyrieši. Môžu to byť všetci aj nikto. Vyrieši ale otázku, minimálne aká veľká skupina ľudí v tomto meste oslavuje narodeniny v tom istom dni. Nevieme, v ktorom konkrétne, ale že taký deň existuje. Rok ma 365 dní, niekedy 366. Uvažujme teda o 366 zásuvkách. 10000:366= 27, zv. 118. Takže môžem rozhodiť tých ľudí po dvadsiatich siedmych do jednotlivých dní a ďalších 118 musím niekde ešte pridať. Záver: v meste s 10000 obyvateľmi zaručene existuje skupina aspoň 28 ľudí, ktorí majú narodeniny v tom istom dni.
Je možné, že by sme podobne mohli zdôvodniť aj existenciu dvojníkov. Stačilo by spočítať, koľko možností pre črty tváre dokážeme voľným okom rozlíšiť a ak to bude menej ako osem miliárd, tak máme dôkaz, že musia existovať aspoň dvaja ľudia, ktorí vyzerajú úplne rovnako. Nie je to náhoda, ale nutnosť.