Milujem rozprávku o nekonečnom hoteli. Ona to vlastne nie je tak celkom rozprávka, ale obsahuje niečo zázračné a má poučenie. V originálnej podobe ju nájdete v maličkej knižôčke s príhodným názvom Rozhovory o množinách. Ja ju napíšem tak, ako si na ňu matne spomínam. Čo si nepamätám, to si domyslím. 😁
Bol raz jeden hotel. Ale nebol to obyčajný hotel. Vznášal sa totiž v intergalaktickom priestore. Zdiaľky vyzeral ako dlhá nitka, ktorá je všelijako poskrúcaná. Viete nájsť jej začiatok, ale koniec sa stráca v nedohľadne. Nečudo, tento hotel nemá koniec. Je to nekonečný hotel. Na začiatku, hneď za vstupnými dverami, je recepcia a za ňou sa tiahne jediná chodba s radom dverí. Dvere sú očísľované jednoducho 1, 2, 3, a tak ďalej až do nekonečna.
No a v tomto hoteli majú novú recepčnú, ktorá ešte nevie, ako to v takých nekonečných hoteloch chodí. V prvý deň, keď nastúpila do práce, jej odchádzajúca recepčná stroho oznámila, že majú všetky izby obsadené. „Hm, dobre, aspoň nemusím zapisovať nových hostí“, pomyslela si. Netrvalo dlho a vo dverách sa objavil párik Marťanov. Boli to nejakí vzácni hostia. A títo sa nedali odbiť rečami o plnej obsadenosti. Vraj má zavolať vedúceho. Pozrela sa za plece: „Žeby tu niekde mali izbu navyše? Veď je to iba jedna chodba“, pomyslela si, ale vedúceho zavolala, nech im to teda vysvetlí on, že žiadna voľná izba nie je.
„Aký je tu problém?“ spýtal sa, keď o minútku dorazil.
„Sme plne obsadení? Naozaj nemáme ani jednu voľnú izbu?“ spýtala sa.
„Áno, všetko plne obsadené,“ prisvedčil.
„Vidíte? Je mi to ľúto, ale nemôžeme vás ubytovať,“ obrátila sa na Marťanov.
„Ale to zasa nie. Prepáčte, slečna je tu nová, ešte nevie, ako fungujeme. Počkajte chvíľku, hneď vám izbu uvoľníme.“
Stlačil tlačidlo a v každej izbe sa ozvalo:
„Milí hostia, prosíme vás o urýchlené presťahovanie do izby, ktorá má číslo o jeden väčšie ako vaša súčasná.“
Chodba sa zaplnila všemožnými bytosťami. Všetci sa koordinovane posunuli o jedny dvere ďalej a zasa sa chodba vyprázdnila.
Keď o chvíľu prišiel malý blonďavý chlapček z asteroidu B612, recepčná, mimochodom, volala sa Klára, už vedela, čo robiť. Takto to šlo niekoľko dní. Keď sa niekto odhlásil, nového hosťa nasťahovala tam. Ale ak bolo plno, všetci sa posúvali. Až jedného dňa prišiel rozkaz uvoľniť polovicu všetkých izieb. Vraj sa chystá veľká rekonštrukcia. Najprv sa prerobia izby s nepárnymi číslami a budúci rok zasa tie ostatné.
„Čo mám povedať polovici hostí? Väčšina má predplatený pobyt na niekoľko mesiacov dopredu. Nemôžem ich predsa vyhodiť len tak do vákua,“ dumala Klára. Tak zavolala Freda (to je ten vedúci, o ktorom som už písala).
„Neboj sa, ty Klára. Nikoho vyhodiť nemusíme,“ utešoval ju.
„Ako to?“ nechápala Klára.
Fred stlačil tlačidlo a už aj hlásil nový príkaz: „Milí hostia, prosím presťahujte sa na izbu, ktorej číslo je dvojnásobok toho súčasného.“
Na chodbe zavládol hurhaj. Na začiatku chodby to vyzeralo podobne ako vždy. Každý sa posunul o pár dvier ďalej, ale zo zadu prenikali k recepcii sťažnosti. Hosť z čísla tisíc sa musel presunúť až o tisíc miest ďalej. Neodpustil si pár šťavnatejších výrazov. A čo kričal hosť z čísla miliarda, to už našťastie k recepcii nedoľahlo. Všetci si ale nakoniec svoju novú izbu našli a polovica hotela bola prázdna. Klára musela obdivne uznať Fredovu vynaliezavosť. Začala rozmýšľať, či vôbec existuje niečo, čo by nevedel vyriešiť.
O pár rokov neskôr, prišla veľmi nezvyčajná požiadavka. V susednej galaxii si nejaký pidižvík otvoril hotel s nekonečným počtom nekonečných chodieb. Chodby boli umiestnené nad sebou a izby mal očísľované dvojicou čísel. Napríklad (2,5) znamenalo piate dvere na druhom poschodí. Všade sa vychvaľoval, že on ubytuje viac hostí, ako Fred. Až raz prišla kontrola z hygieny a celý hotel mu v okamihu zavrela. Nemusím pripomínať, že v tom čase bol celý obsadený. No, a hostia z jeho hotela sa obrátili na Freda, či by aspoň niektorých nemohol ubytovať.
Fred odpovedal okamžite: „Pravdaže, prídite všetci.“
„Všetci?“ neverila Klára, ktorá si rozhovor vypočula.
„Neboj, všetci sa sem zmestia. Pidižvík vôbec nerozumel nášmu remeslu. Viac ako jedna nekonečná chodba? Hlupák.“
Nakreslil tabuľku, riadky označovali poschodia, stĺpce izby. Vyplnil ju celú číslami pidižvíkových izieb a začal kresliť čiaru. Začal v ľavom hornom rohu, pokračoval doprava, potom šikmo dolu, dolu, šikmo nahor, doprava, zasa šikmo nadol a pokračoval až kým čiara neprešla cez všetky čísla tabuľky.
„Pozri, tak ako ide táto čiara, tak prideľuj naše izby,“ povedal s úsmevom na perách.
„Ale my sme plní,“ ozvala sa Klára, ale hneď aj prišla na riešenie – hostí presunie na dvojnásobok a novým hosťom priradí len nepárne čísla. Takto vyzeralo prvých niekoľko presunov:
(1,1) – 1,
(1,2) – 3,
(2,1) – 5,
(3,1) – 7,
(2,2) – 9,
(1,3) – 11,
…
O tomto veľkom úspechu sa hovorilo v celej galaxií. Pidižvík svoj hotel od hanby celý zbúral a rozhodol sa venovať niečomu úplne inému.
Toto by mohol byť aj celkom slušný záver. Nakoniec som tu vytvorila dačo, čo už má s pôvodným textom spoločnú len tú matematickú podstatu. Uznajte, celkom dobrú rozprávku som z toho splietla. Pridajte tam ešte nejakú romantickú zápletku medzi Fredom a Klárou a celkom fajn film by z toho mohol byť. 😏
Nekonečno a iné nekonečno
Vráťme sa ale na chvíľu k tej matematickej podstate. Nekonečný hotel predstavuje, ako ste azda aj uhádli, množinu prirodzených čísel. Ich počet je nekonečný. Toto nekonečno sa volá alef nula. Nula, pretože je to najmenšie nekonečno. V našej rozprávke sme žiadne iné ani nemali. A pozor! Nekonečno, toto alef nula, nie je prirodzené číslo. Nie je to najväčšie prirodzené číslo, ako si daktoré deti myslia. Má úplne iné vlastnosti. Napríklad, keď k nemu pripočítame akékoľvek číslo, alef nula zostane rovnako veľké. (Prisťahovanie nových hostí.) Môžeme ho násobiť aj deliť akýmkoľvek prirodzeným číslom, stále bude rovnaké. Dokonca aj keď ho vynásobíme rovnakým nekonečnom, výsledok bude rovnaký. (Pidižvíkov hotel)
Teraz to vyzerá, že alef nula je jediné nekonečno. Ale nie je. Ešte máme napríklad kontinuum. Kontinuum je nekonečno, ktoré vznikne, keď napríklad dvojku umocníme na alef nula. V nekonečnom hoteli by sme na kontinuum narazili, keby sme chceli zapísať všetky možnosti obsadenosti izieb hotela.
Všetky izby by boli v jednom riadku. Ak je izba voľná, dáme nulu, ak obsadená, zapíšeme jednotku. Každý riadok by bol jedna možnosť. Ak by sme vytvorili systém, ktorým dokážeme všetky možnosti takto zapísať po poradí – bolo by ich zasa alef nula. Ale toto sa nedá. Nech vytvoríme akýkoľvek systém, vždy bude existovať možnosť, ktorá v zozname zaručene chýba. Námet na pokračovanie rozpravky?
A poučenie? V známej rozprávke Baby šéf je úvaha o tom, že keď rozdelíme lásku dvom deťom, budú jej mať málo. Autori asi nie sú dobrí v matematike. 😁 Ak je láska bezhraničná (čiže nekonečná), môžeme ju pokojne deliť. Staršie dieťa bude mať toľko isto ako vždy malo – nekonečne veľa. A rovnako veľké nekonečno dostane aj nové dieťa.❤️